罗素悖论的通俗版又被称为
1、 这是古希腊的一个故事：一条鳄鱼从一位母亲的手中夺走了孩子，母亲苦苦哀求说：求求你放过我的孩子，你提什么要求我都答应。
2、有一位理发师，他宣称只给所有不给自己理发的人理发。
3、M：一天，有个旅游者回答——旅游者：我来这里是要被绞死。M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。
4、解析几何之父笛卡尔，明清年间来华的传教士利玛窦、汤若望、南怀仁、郎世宁，与利玛窦一起翻译欧几里得《几何原本》前六卷的徐光启，以及现任教宗方济各等均为耶稣会会士。400多年前就是利玛窦将God译成中华传统文化中的“上帝”，本书中出现的耶稣会神父兼科学家有：克里斯托弗•沙伊纳(第85页)、克里斯托弗•克拉维思(第96页)、吉罗拉莫•萨凯里(第184页)等人。(罗素悖论的通俗版又被称为)。
5、所以，我可以定义“不是自然数的‘所有实数’的集合”(thesetofallrealnumbersthatarenotnaturalnumbers)，但是我不能制造一个“不是自然数的‘所有东西’的集合”(asetof"everything"thatisnotanaturalnumber)。
6、M：这台可怜的计算机发起狂来，不断地打出对、错、对、错的结果，陷入了无休止的反复中
7、这个难题，很自然地源自我们对“集合”的开放的、朴素的定义。(罗素悖论的通俗版又被称为)。
8、经过两千多年的发展，数学已经构建出一座无比富丽堂皇的宏伟大厦。集合论，却始终是这座大厦最底层的根基。如果集合论出现了裂痕，整个数学大厦都可能摇摇欲坠。令人唏嘘的是，第三次数学危机就发生在数学的基石之上。一个关于集合的悖论很快以摧枯拉朽之势席卷了数学界，不仅让集合论风雨飘摇，更是差点将现代数学毁于一旦。
9、其实你也可以简单地做一个莫比乌斯带：拿一个纸条，扭一下然后把两端连接起来。
10、我们希望“集合”是极其灵活的事物，它们能够在数学的不同部分中起到不同作用。
11、文章开头的理发师悖论实际上就是罗素悖论的通俗版本：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。同理还有书目悖论：一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？这个悖论与理发师悖论基本一致。
12、比如，自然数集，再比如，所有的未成年人，等等。这个假设看起来很容易使人信服，但这种不受任何限制的建构集合的方式，就出现了问题。
13、当电脑左下角数字变成22:21时，警告窗口仿佛昙花一现。任你心潮怎样澎湃地打出其中一个猜想的代码，也只得按Ctrl+C狼狈退出程序。
14、事实上，基于对“集合”的朴素定义，我们自然会考虑一个“所有事物的集合”(asetofeverything)，或者一个“所有集合的集合”(asetofallsets)。(二者都是自含集合。)
15、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了 。就在这时 ，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
16、*限于作者水平，本文难免有缺漏之处，欢迎指正！
17、利用进化版MATLAB，解决它，不在话下。
18、搬运翻译工：Suhrawardi(剑桥大学神学博士)
19、鳄鱼喃喃自语：“如果我吃掉你的孩子，那就说明你答对了，我应该把孩子还给你；如果我不吃你的孩子，那就说明你答错了，我就应该吃掉孩子。”
20、一个关于数字的无限聚集，比如自然数N=5……应该也是一个集合。
21、然而捞到尸体的人要价太高，富户的家人不愿接受，于是他们就找邓析出主意。
22、这就有点悖论的意思：同一个事实，却推出了不同的结论；每一个结论听起来都合乎逻辑，但合在一起却是荒谬的结果。
23、这位母亲细想片刻说到：我想你会吃掉我的孩子！
24、学生照做了，但是他毕业以后，没有担任辩护工作，因此它不打算交另一半学费。
25、因此，我们有理由也会有一个“不是自然数的‘所有东西’的集合”(thesetofeverythingthatisnotanaturalnumber)。
26、如果集合A是自己的一个元素，那么集合A就不满足“不包括自己的集合”的定义，不应该出现在此集合中，矛盾；
27、德国逻辑学家弗雷格(Frege)曾在自己的著作中写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成的时候却发现所干的工作的基础都崩溃了。”作为逻辑结构，数学已经处于一种悲惨的境地，数学家们以向往的心情回顾这些矛盾被认识以前的美好时代。(Kline,1972)
28、书中开篇明义地提出了困惑人类的千古之谜及数学的终极问题：“上帝是数学家吗？”这里他并不是对于上帝和数学适用性的形而上学的探讨，而是强调“数学‘无所不在、无所不能’的力量通常只有在人们描述一位神明时才会用到”。
29、时至今日，公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论(后来归入所谓语义悖论)：理查德悖论、培里悖论、格瑞林和纳尔逊悖论。
30、解决无穷的难题已经够困难了，而康托尔在1874年证明了实际上有不同的无穷。尤其是证明了实数集合的不可数性，他证明了这个集合比自然数的现存无穷集要大一些。
31、 1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。
32、有趣的莫比乌斯带，是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·李斯丁在1858年独立发现的。它是一个只有面和一条边的曲面，常常被用来迷惑数学新生。
33、KurtGödel,摄于1925(图自维基)
34、虽然经过一个多世纪物理学家的努力，大家发现物理学天空已经满满得全是乌云了。
35、“一切数学成果可建立在集合论基础上”，这一发现使数学家们为之陶醉。
36、根据我们的直觉，“集合”应该是“事物的聚集”(acollectionofthings)，而朴素集合论，基本上就把这一直觉，当作了“集合”的定义。
37、一些以经验为基础的发现促进了概念的形成，但概念本身无疑也刺激了更多定理的发现。有关这一问题的讨论揭露了数学的一个有趣特征：数学是人类文明的重要组成部分，许多发现和一些意义重大的发明大概都源于数学的文化复杂性。而数学的另一特点——永久正确性，则赋予数学本身无限的生命力。
38、一条线段和一条直线上的点一样多？90%的学霸都不会证明
39、尽管有这些限制，现代集合论的诸种公理，仍然足够灵活，结合形式逻辑的规则，它们基本上为整个现代数学提供了坚实的基础。
40、19世纪初，拉普拉斯将牛顿的万有引力定律推广到整个太阳系，他在星云假说中提出了一位被后人称为“拉普拉斯妖”的全能智者。但拉普拉斯不是基督徒，因此这位智者并非耶和华上帝。爱因斯坦这样说：“我信仰斯宾诺莎的上帝，一个通过存在事物的和谐有序体现自己的上帝，而不是一个关心人类命运和行为的上帝。”斯宾诺莎将上帝和宇宙视为一体，被认为是一种隐蔽的无神论。
41、如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人。但是，招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。
42、此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。
43、塔斯基受到了哥德尔的启发，于1936年证明了我们无法在算术系统中定义何谓“算术的真理”。
44、(简言之，如果B自含，则B将不属于B，则B将不自含，矛盾；如果B不自含，则B将属于B，则B将自含，矛盾。)
45、邓析说：“不用着急，除你之外，他还会卖给谁？”
46、本书是日本人气读本，作者将每一章针对不同议题进行解说，再于最后一章切入正题——哥德尔不完备定理。作者巧妙地以每一章的概念作为拼图，拼出与塔斯基的形式语言的真理论、图灵机和判定问题一道被誉为“现代逻辑科学在哲学方面的三大成果”的哥德尔不完备定理的大概证明。
47、理发师悖论是数学家罗素在1903年提出的。
48、这些对数学来说都是坏消息，因为剥夺了人们对于阐释绝对真理的原始欲望。同时，希尔伯特式对知识的探求再度席卷而来，用他的话说就是：“我们必须知道，我们将会知道。”
49、面对这样的流氓推理，即使圣贤如孔子，不能作答也实属正常。
50、时代呼唤着天才。此时，德国数学家康托则独自扛起了挑战无穷的大旗。他以一己之力创造了集合论和超穷数理论，打开了被上帝尘封的智慧大门。数千年以来，无数科学家只能在大门外远远地徘徊，对大门充满了敬畏之心。唯有康托径自一人，孤独地行走在惊心动魄的探险之路上，试图找到开启大门的钥匙。他以卓绝的智慧成就完成了这一宏图伟业，让人们得以一窥连接着无穷世界的大门内无比辉煌的宝藏。为了把握和认知无穷的集合，康托创造性地将一一对应和对角线方法运用到集合论的奠基性研究当中。正是因为康托的努力，数学中无限的面纱终于被揭开，围绕着无穷的迷雾终于得以散去。他对无穷的新见解让人们对无穷的认识上升到了一个前所未有的层次。
51、如果你认为自己很感兴趣优化，你不觉得这会让你成为一个完美主义者么？而完美主义者不正是追寻最优途径去优化事物么？
52、然而就在此时，一个重磅消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。它是对当时刚刚建立起来的集合论的有力挑战。
53、(换言之，上文提到的同时包括非自然数、披萨和加利福尼亚州的大而不当的集合，应该被构建为诸多下属集合：非自然数集合，披萨集合，美国诸州集合；而这些下属集合，又从属于其他更大的集合，比如数字集合，食物集合，各国州省集合。)
54、(1)“不是自然数的所有东西的集合”(注：这个巨大的集合包括“披萨”、“加利福尼亚州”，同时，也包括其自身，因为此集合当然也不是自然数)；
55、也就是说：“非自谓的”这个词是自谓的，当且仅当它是非自谓的；或者说，这个词是非自谓的，当且仅当它是自谓的。
56、(2)“所有集合的集合”(注：此集合自身也是一个集合，所以它包括其自身)。
57、人们很早以前就明白：如果把一堆具有某种特定性质的元素放在一起，就能组成一个集合。研究集合的理论在数学上被称为集合论。它是众多数学理论的分支之一。然而，它在数学中却具有最为特殊的地位，它的基本概念已经渗透到几乎所有的数学领域之中。
58、有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热忱欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，那么问题出现了，他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
59、公元前400年左右无理数的发现，引发了史上第一次数学危机，成为数学史上的重要里程碑。柏拉图最先把数学、科学、语言学、宗教、伦理等学科融合在一起，认为数学真理是指存在于理想世界中抽象无形的客观真相。这个理想世界是所有真理和完美的汇集地，与我们感知到的、短暂的世界无关，数学形式的柏拉图世界与物理世界也截然不同。数学家在某种意义上等同于探险家，他们只能发现真理，却不能发明真理。
60、 例如比较有名的理发师悖论：某乡村有一位理发师，一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。这里就产生了问题：理发师给不给自己刮胡子？
61、罗素悖论：这就是为什么数学不能拥有一个“所有事物”的集合
62、(悖论(24)----柏拉图与苏格拉底悖论)
63、尽管集合论中存在矛盾，但这些矛盾大部分均可回避。然而哥德尔不完备定理则表明：数学的真理性不是绝对可证的，如果我们要证明数学理论的相容性或完备性，必须要依靠该数学理论以外的论据，也就是说我们需要更大的系统来说明理论本身是真的。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，数学的确定性却在一步一步地丧失。第三次数学危机则伴随着这种不确定性，以更深刻的形式延续至今。
64、很自然，本身作为一个集合，“所有集合的集合”必须包括其自身，作为一个元素。
65、当时的情况是，德国数学家康托尔创立了著名的集合论，这一成果也为数学界接受，并且获得了广泛而高度的赞誉。
66、集合论的创建者是康托尔(Cantor,1845-1918)，当他29岁时，在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章，此后，他从事集合与超限数方面的研究长达20多年。
67、英国著名物理学家威廉.汤姆生(第一代开尔文伯爵，热力学温标即绝对温标的发明人，被称为热力学之父)在英国皇家学会发表了题为“在热和光动力理论上空的十九世纪的乌云”的演讲。他在回顾物理学所取得的伟大成就时说，物理大厦已经落成，所剩只是一些修饰工作。同时，他在展望20世纪物理学前景时，却若有所思地讲道：“动力理论肯定了热和光是运动的两种方式，现在，它的美丽而晴朗的天空却被两朵乌云笼罩了”
68、(2)中文维基百科.https://zh.wikipedia.org.2020年2月21日.
69、作者：AndyKiersz(seniorquantreporteratBusinessInsider，曾在芝加哥大学和普渡大学研究数学)
70、而欧拉增强版的哥德巴赫猜想(强哥德巴赫猜想)变为“任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和”，至今还未证明。目前最好的成果是陈景润，达到了“1+2”的程度，即“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两数之和，其中这两个数一个就是奇质数，另一个是两个奇质数的积”。但是，“1+1”的路，还遥遥无期。
71、除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如冯·诺伊曼(vonNeumann)等人提出的NBG系统等。在该公理系统中，所有包含集合的"collection"都能被称为类，凡是集合也能被称为类，但是某些collection太大了(比如一个collection包含所有集合)以至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。
72、现在可就不一样了，同样，从小到大枚举所有偶数，看看是否有两个质数加起来等于它，如果有就继续枚举下去，否则输出这个反例并结束程序。这样，解决哥德巴赫猜想第一人就是你！无论如何，数学史上必将留有你的名字！
73、伯特兰·罗素是一位数学家、哲学家、逻辑学家、历史学家、作家、社会批评家、政治活动家，以及，在我看来，一位值得学习的人物，能从他身上受到启发！