罗素悖论引发了数学的第三次危机
1、这才是矛盾的根源。所以，矛盾说明的是理发师并没有为“是否给自己理发”给出规则。
2、 大家知道，做出疫情预测最为关键的一步是要建立数学模型，然后加以计算求解。历史上，正是依靠数学对于传染病的模型化研究，人类才对其传播模式和严重危害有了更为深刻的理性认识。计算技术和人工智能的快速发展为这一求解带来了划时代的新机遇。新冠病毒肺炎疫情发生以来，我们经常会听到一些专家或机构根据他们的模型预测了疫情终结的大概时间。这里所说的模型就是针对疫情的实际而修正、提炼、选择的数学模型。这个听起来高深莫测的数学模型，原理其实并不复杂。以SEIR模型为例：如果用 S 代表易感者，也就是可能被传染但还没有感染的人；用 I 代表感染者，即已经被传染但尚未死亡的人；用 R 代表移除者，他们被感染后痊愈或者因病死亡。用 E 表示潜伏期人群。如果用 β, δ, γ, α 依次表示 S 转化为 E，E 转化为 I，I 转化为 R，E 转化为 R的比率，则其微分方程如下：
3、第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。
4、古希腊时期“几何作图三大问题”：这是三个作图题，只能使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到19世纪被证实这是不可能的：
5、这是哪个名人说的？英国人罗素！那个在诺贝尔奖历史上，获诺贝尔文学奖的数学家罗素。这成为诺贝尔奖历史上的唯空前绝后。
6、可以看到，“悖论”是矛盾等价式，且具备以下三个要素：
7、目前，关于数学基础的各派思想依然层出不穷，至今没有形成一个在数学界被普遍接受的理论。
8、 第一个例子是四色猜想。1852年10月，英国有位刚大学毕业的青年人在给地图着色的过程中发现似乎只需要4种颜色。1878年6月13日，英国数学家凯莱在伦敦数学会上正式提出四色猜想，同时发表于会议的论文集。从此，吸引了全世界的数学家致力于四色猜想的证明，但一直没能解决。
9、“万物皆数”是古希腊毕达哥拉斯学派坚不可摧的信仰。所谓“万物皆数”就是指任何的实数都可以表示为两个整数的比值。然而学派引以为傲的毕达哥拉斯定理(也就是我国俗称的勾股定理)却恰恰成了其信仰的终结者。
10、 面对这些预测，公众关心的问题是哪个预测更准确？而不是逻辑推理的“可读性”。事实上，从数学模型、数据处理、计算程序，到快速计算、结果修正拟合，这是一个非常长的逻辑推理链条，任何自然人的生理功能都不可能窥其全貌。因此，在不得不之中，公众只能相信学术权威。
11、1916年，罗素44岁，因撰写《战时的正义》小册子批评对一位拒服兵役者被判两年徒刑的埃弗里特案件而遭罚款100英镑。变卖图书偿付罚金，朋友们为其买下图书。失去在三一学院的讲师职位。
12、1920年，罗素48岁，罗素出狱，访问俄国，写作《布尔塞维克主义的理论与实践》。访问中国，在北京讲学一年。好像中国很多知名学者的文章中都谈到过这事。二年后，他写出《中国的文化问题》一书，对中国有四个预言：
13、那么，智慧空间本周的题目也是一道与集合有关的题目，同学们一起来看看吧：
14、如果上帝能造出这块石头，可他自己又举不起这块石头，那他就不是万能的；如果他不能造出这块石头，那又怎么能说上帝是万能的。(罗素悖论引发了数学的第三次危机)。
15、如果他不给自己理发，那么他按原则就该为自己理发;如果他给自己理发，那么他就不符合他的原则。
16、第三次数学危机直接动摇了数学基础，危机的产生就需要解决。危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
17、预言三：外国人将中国改造为现代国家是一件很困难的事，应该静待中国人自行解决。只有中国人才最了解中国，他们自己会慢慢摸索出解决办法才是长久之计。
18、历史上的三次数学危机，虽然给人们带来了极大的麻烦，但是危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷，并不断去完善，由此，数学也会得到新的发展，甚至会有革命性的的变革！
19、蒯因认为，这个矛盾表明村里没有这样一位理发师。然而奇怪的是，有没有这样一位理发师，显然是一个经验问题。
20、1922年，罗素50岁，成为英国工d议员候选人。为M．D．康韦纪念讲座作《论自由思想与官方宣传》的演讲。写出了《三种途径走向世界》，这时的罗素，学术、政治合为一体了。但他不像一位学者，更像一位自由斗士。
21、策梅洛，提出公理化集合论，这就是集合论发展的第二个阶段。
22、22岁与阿鲁丝·史密斯结婚。39岁与她分居“冷战”。
23、罗素悖论提出后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论主要有两种选择，ZF公理系统和NBG公理系统。
24、 罗素把这一发现写信告诉了德国数学家弗雷格。弗雷格说：一个科学家所遇到的最不合心意的事，莫过于在他的工作即将结束时，其基础却崩塌了，罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。罗素悖论引发了第三次数学危机。
25、罗素，全名伯特兰·阿瑟·威廉·罗素，生于1872年，卒于1970年，英国著名哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家、反战斗士。
26、 推理与概念、判断一样，同语言密切联系在一起，推理的语言形式为表示因果关系的复句或具有因果关系的句群；推理用语言表达出来，一个自然人必须能够在其生命长度时间里审核其正确性，不能太长，这就是前面定义的可读性；这里要求的是一个自然人完整审核推理过程，而不是一群自然人在同一个逻辑层级上分工阅读，然后彼此互相提供证言；逻辑推理是一个迭代的过程，如同建筑工程一样，从泥土，砖头，墙壁，到楼房。承认一个前提推演新的结论，不能把一系列逻辑推理压缩在一次逻辑推理里，这样会造成自然人的“不可读”，两个独立的人能够分工对一次逻辑推理的正确性负责吗？答案显然是否定的，这关系到科学大厦的严密性和可靠性。
27、第一个无理数的发现，在当时的数学家引起轩然大波，它直接推翻了毕达哥拉斯的著名理论，还极大冲击了当时希腊人的普遍观念，更糟糕的是，希腊人对此毫无办法，这就直接导致了当时的认识危机。
28、 1953年，匈牙利数学家托斯得到结论：球堆积猜想的证明可以减少为有限多种情况(数目极为庞大)。从1992年开始，美国密歇根大学的托马斯•海尔斯按照托斯的思路用计算机研究球堆积猜想；经过6年运算，1998年海尔斯宣布完成证明。海尔斯的证明包括250页文稿，10万行左右的计算机程序，3G的计算机程序和运算结果。著名数学杂志 AnnofMath 起初表示同意发表海尔斯的证明，于是该杂志聘请托斯的儿子担任评审委员会的负责人，开始对海尔斯的证明进行彻底而审慎的检验。但是，审核了6年后，评审委员会决定放弃全面验证该文的计划。无奈之下， AnnofMath提出发表时加一条免责条款：本证明大部分，但非全部，被验证过。因遭到许多数学家的批评而未实施。最后AnnofMath 决定：将论文一切两半，刊登已经使用传统方式验证过的证明，舍弃计算机运算的数据。
29、1938年，罗素访美并旅居到1944年。与T．V．史密斯和保尔·道格拉斯在广播上谈论《驯服经济力》问题。任芝加哥大学客座教授至1939年。
30、罗素自始至终是一个自由主义者，对婚姻家庭也是这样，爱则合，不爱则离。一生有过四次婚姻：
31、1921年，罗素49岁，与阿鲁丝分居10年后离婚，同多拉·布莱克结婚。儿子约翰出生。天命之年，老来得子，罗素当爸爸了。这时的罗素，因为参加反战活动被校方开除，靠出版教育方面的书籍谋生。我们见到的很多心灵鸡汤是这个时期写的。出书和演讲是罗素谋生的主要方式。
32、——布特鲁(PierreBoutroux)
33、1938年，罗素66岁，在牛津大学作系列讲座“语言与事实”。
34、 2010年，国际著名学术杂志 Nature 上刊登了华盛顿大学贝克尔教授一篇和游戏有关的科研论文，作者超过5700人；2015年物理学杂志 PhysRevLett 上一篇研究论文作者数量达到5154；2016年 PhysRevLett 上还有一篇论文作者数量10其中诞生了三位诺奖；最近，Nature 上有一篇论文，作者数量更是超过6万人。我不知道这些论文的推理细节，但我相信其中推理的主体应该只是少数几个人，大量的作者其实做的是类似于计算机的验证性辅助工作，或者其中并无推理过程。
35、罗素悖论也称为理发师悖论，由英国哲学家、数学家于1901年提出。
36、 仔细分析，计算机是否可以成为逻辑推理的主体，应该是一个实实在在的哲学问题，推理主体和推理模式一定是密切相关的。菜尔伯格与艾卡德合作过程中究竟谁主导的推理？这个问题可以用笛卡尔的“我思故我在”的哲学观点来分析。大家知道，笛卡尔被广泛认为是西方现代哲学的奠基人，他首创了一套完整的哲学体系。“我思故我在”是笛卡尔全部认识论哲学的起点，也是他“普遍怀疑”的终点。笛卡尔认为思考是唯一确定的存在。
37、那么本周智慧空间的题目就分享到这里，同学们如果还有其他想了解的知识点和题目，请关注平行线智慧空间，
38、纵观罗素的一生，可用“勤奋”二字概括。一生都在思考，一生都在写作，一生都在演讲。
39、 关于推理模式的变革，不能不提维克托的著作《大数据时代》。维克托拥有在哈佛大学、牛津大学等多个互联网研究重镇任教的经历。有书评说：维克托最具洞见之处在于，他明确指出大数据时代最大的转变是放弃对因果关系的渴求，取而代之关注相关关系。也就是说只要知道“是什么”，而不需要知道“为什么”。这就颠覆了千百年来人类的思维惯性，对人类的认知和与世界交流的方式提出了全新的挑战。
40、理科少年周彦：围棋4段、会写代码，却说自己像榴莲？老凡尔赛了！
41、数学语言具有高度抽象性，因此数学阅读需要较强的逻辑思维能力。学会有关的数学术语和符号，正确依据数学原理分析逻辑关系，才能达到对书本的真正理解。同时数学有它的准确性，每个数学概念、符号、术语都有其精确含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，结论对错分明，因此数学阅读要求认真细致，同时必须勤思多想。
42、可是，罗素让数学的基础动摇了，这就是数学史上著名的第三次数学危机。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了几十年得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
43、悖论的标准形式是如果P，那么非P；并且如果非P，那么P。引入等值关系，即P当且仅当非P。在这样的标准形式下，一些冠以“悖论”名称的命题不能都算作是悖论，如“上帝全能悖论”：假设上帝是全能的，那么上帝就能造出一个打败他的对手，一个被打败的上帝显然不是全能的。但从上帝不是全能的就推不出它的否定。科幻爱好者熟知的“外祖父悖论”也是这样，假设某个人可以乘坐时间机器或通过时空隧道什么的回到过去，那么他就有可能杀死幼年的外祖父，从而他母亲不能出世，他也不能出世，所以人不能回到过去。相应地这个命题的逆命题不成立。这些都只能算作“半个悖论”。另外，还有一些佯谬、怪论、疑难等也常常冒用悖论之名。为此我们需要特别指出：悖论标准形式“P当且仅当非P”与矛盾律中的矛盾“P且非P”有本质的不同，尽管二者在经典逻辑中的真值相等。
44、1951年，罗素79岁，在纽约哥伦比亚大学马切特基金会讲座演讲“科学对社会的影响”。为哥伦比亚广播电台的第三节目撰稿，谈《美国的政治和文化影响》、《科学方法的性质与根源》，以及《怀疑主义与忍让》。
45、第一次数学危机为数学带来了无理数的发展，第二次数学危机使得微积分经过磨炼更加系统化，完整化，严密化。而第三次危机目前的解决办法是构造公理化来排除这样的集合的存在性。
46、从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。
47、比如，数学的发展就曾面临过几次极其严峻的考验。距离目前最近的一次，就是20世纪罗素悖论对康托尔集合论的冲击(也称第三次数学危机)。
48、不过，这样一来，考虑的函数范围就变窄了，同时也导致了不用极限概念就无法讨论无穷级数的收敛问题。
49、其人弗能应也。对于这个故事，我们都很清楚地知道，之所以会出现矛盾，是因为这位楚人过分夸大他的予与盾。关于该予是否能刺穿该盾，这位楚人给出了自相矛盾的说法。因此，对于该予是否能刺穿该盾，这位楚人并没有给出定义。而对于该矛是否能刺穿其他盾，不管对与错，这位楚人给出了确定的答案。我们读完这个故事，并不会认为，楚人的矛与盾不能存在。或者认为，这位(卖这样的矛与盾的)楚人不能存在，或者更荒唐地认为，《韩非子》这本书并不存在。其实，逻辑矛盾说明的是，书中的楚人对于矛与盾给出的说明是矛盾的。然而，到了近代，又有了一个类似的悖论，我们却给出了奇怪的答案。
50、悖论幽灵再次潜踪匿形，锋芒不露，等待在更有利的时机给数学更为猛烈的一击。
51、 有人把这种逻辑推导与计算机辅助合成的“三明治”式的推导称为新潮数学。普林斯顿大学康威教授说：我不喜欢它们(计算机证明)，因为不知道究竟发生了什么。也有乐观的数学家说：计算机可以打败世界象棋冠军，为什么不能战胜数学家？这样的争论或许还会延续很长时间。
52、罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。
53、这一年，罗素又做了一件让人意想不到的事，创作小说。他匿名出版了第一部小说《x小姐科西嘉历险记》，之后又相继出版了两部短篇小说：《近郊的撒旦》、《显要人物的恶梦》，它们是用寓言形式写成的。罗素的散文在英国文学中也享誉甚高。
54、经过数位杰出数学家对于微积分学基础概念的重建后，第三次数学危机才终于得以解决。
55、抽象是数学的本质特征，数学的抽象性表现在哪些方面，请举例。
56、1927年，55岁的罗素想到了创业，在彼得斯菲尔德附近的塔山开办学校，自任校长，夫人多拉任女校长。
57、今天的数学园地要给你介绍数学史上一个著名的悖论——芝诺悖论.
58、1914年，罗素42岁，写作《柏格森哲学》，在牛津大学赫伯特·斯宾塞讲座讲演《哲学的科学方法》，在波士顿洛威尔讲座讲演“我们对外部世界的知识”。撰写《我们对外界的认识》，反对第一次世界大战的小册子《战争是恐惧的源泉》，公开进行反战讲演。加入工d。这是罗素在布道了，很多学者到一定阶段，就开始讲学布道了。罗素从没有放弃政治！
59、 运动场悖论：这一悖论的问题在于“从空间位移分析时间的流逝上面提及的B、C相对A各自是一个单位的时间流速，而B、C之间是两个时间单位.
60、“乞丐不能妒忌百万富翁，他会妒忌收入更高的乞丐”。
61、危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。
62、时至今日，公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论(后来归入所谓语义悖论)：理查德悖论、培里悖论、格瑞林和纳尔逊悖论。
63、理发师如果给自己理发，那么他就是给自己理发的人，他就不能给自己理发；反之，如果理发师找人给他理发，那他就是不给自己理发的人，他应该给自己理发。
64、80岁时，与第三任妻子海伦-帕特里夏·斯彭斯离婚，同第四任妻子美国的英语教授伊迪丝·芬奇结婚。
65、1926年，罗素54岁，三岁的女儿把罗素培养成为一名教育家，出版《论教育：特别是幼儿教育》、《教育与善的生活》。
66、中学数学常用的教学方法有讲授法、谈话法、演示法、练习法、问题探究法和情境教学法等。
67、图(二分法悖论)(阿氏与龟)(飞矢不动)(运动场悖论)
68、德国逻辑学家弗雷格(Frege)曾在自己的著作中写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成的时候却发现所干的工作的基础都崩溃了。”作为逻辑结构，数学已经处于一种悲惨的境地，数学家们以向往的心情回顾这些矛盾被认识以前的美好时代。(Kline,1972)
69、他们抨击牛顿和莱布尼兹的微积分理论虽然是建立在无穷小的分析上，但是他们对无穷小量的理解与运用却十分混乱，这种对微积分合理性的抨击和质疑，使得整个微积分理论险些被推翻。
70、这个“爱情之问”很适合还处于暧昧期的情侣讨论来加深感情。
71、首先，在呈现芝诺悖论之前，先让我们弄清楚“悖论”的定义.
72、如果说起这个悖论的故事背景，那就要回到19世纪末到20世纪之初，彼时数学界和物理界甚至整个科学界都笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中。
73、一个理发师说，我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸？
74、罗素悖论非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，在他的书即将出版时，整个理论大厦全然崩塌。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
75、数学的应用广泛性表现在：一切科学技术原则上都可以借助于数学的知识和思想方法来解决有关的问题。数学与人的生活、社会的发展、科学技术的进步息息相关；数学为其他学科的建立和发展提供了条件和基础。数学是人类文化的一个重要组成部分。数学的地位已经或者正在发生着巨大的变化。近几十年来，随着现代数学的飞速发展以及计算机技术的兴起和广泛应用，许多科学家不仅将数学从自然科学中分离出来，从而确立了数学作为自然科学基础的地位，而且越来越多地投入到应用数学的前沿研究，使数学的应用成为一种手段、一种思想方法和一种思维习惯。
76、作为反战斗士，罗素一生有惊无险，二次入狱，一次飞行事故让他越战越强。发表了《罗素——爱因斯坦宣言》，后变成了《维也纳宣言》。
77、(2)陆新生.数学史上的三次危机(J).科学教育与博物馆，2020(1/2)：65-
78、危机希巴斯(Hippasus，米太旁登地方人，公元前470年左右)发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边(即2的2次方根)永远无法用最简整数比(不可公度比)来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。
79、策梅洛(Zermelo)、弗伦克尔(Fraenkel)、冯·诺伊曼(vonNeumann)等人提出了一系列公理对集合的构造加以限制，从而排除了罗素悖论中集合的存在。